您询问“一审二审都胜诉后对方的再次上诉”，这涉及到我国的审级制度和再审程序的启动条件，以下结合相关法律规定进行分析。
根据《中华人民共和国民事诉讼法》第十条规定：“人民法院审理民事案件，依照法律规定实行合议、回避、公开审判和两审终审制度。”因此，二审判决是终审判决，一经作出即发生法律效力。对方“再次上诉”实际上是申请再审。
《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零六条规定：“当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审；当事人一方人数众多或者当事人双方为公民的案件，也可以向原审人民法院申请再审。当事人申请再审的，不停止判决、裁定的执行。”
第二百一十二条规定：“当事人申请再审，应当在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出；有本法第二百零七条第一项、第三项、第十二项、第十三项规定情形的，自知道或者应当知道之日起六个月内提出。”
综上，对方在一审二审败诉后，只能通过申请再审来寻求救济，且需在法定期限内提出并符合法定再审事由，否则其再审申请将不被受理或被驳回。
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“一审二审都胜诉后对方的再次上诉”（即申请再审）可能会给您带来以下法律风险：
1. 再审程序被启动的风险：如果对方的再审申请符合《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条规定的情形，例如对方提交了足以推翻原判决的新证据，人民法院将裁定再审。例如，在一个买卖合同纠纷中，一审二审均判决买方支付货款，买方在再审阶段提交了一份新的、经过公证的双方补充协议，该协议约定买方无需支付该笔货款，此时法院可能会启动再审程序。
2. 原审判决被改判或撤销的风险：若再审法院经审理认为原审判决认定事实错误或适用法律错误，可能会作出改判、撤销原判决发回重审等裁定。例如，在一个侵权责任纠纷中，原审法院认定被告构成侵权并判决赔偿，再审中发现原审认定的侵权行为与被告无关，而是由第三人实施，此时再审法院可能会撤销原判决，改判被告不承担责任。
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“一审二审都胜诉后对方的再次上诉”（即申请再审）的处理，可能会受到以下特殊情况或例外情形的影响：
1. 对方发现新的决定性证据：如果对方在再审程序中提交了在一审、二审中因客观原因无法取得，且足以推翻原审判决的新证据，这将对案件处理产生重大影响。法院可能会因新证据的出现而启动再审，并根据新证据重新认定事实，进而可能改判或撤销原审判决。例如，在一个借贷纠纷中，原审认定被告借款未还，再审中被告提交了一份在原审判决生效后才发现的、由原告出具的收款收条，该收条足以证明借款已偿还，法院可能因此再审改判。
2. 原审法官存在违法行为：若有证据证明原审法官在审理案件过程中存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等违法行为，可能影响案件的公正审理。此时，当事人申请再审的，人民法院应当再审。这种情况下，案件将进入再审程序，原判决可能被撤销，案件将重新审理，严重影响案件的处理结果。
3. 案件涉及社会公共利益或国家利益：如果案件的处理结果涉及社会公共利益或国家利益，即使当事人未申请再审，人民检察院也可能依职权提出抗诉，从而启动再审程序。这属于例外情形，不依赖于当事人的申请，也会对案件的处理产生影响。

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